Question

1．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=BC₁=2，∠AA₁C₁=60°，BC=$\sqrt{6}$，AC₁与A₁C相交于点D．
（1）求证：BD⊥平面AA₁C₁C；
（2）求二面角A₁-AB-C₁的正弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出BD⊥AC₁，BD⊥DC，由此能证明BD⊥面AA₁C₁C．
（2）由DA₁，DA，DB两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A₁-AB-C₁的正弦值．

解答 证明：（1）由题意，菱形ACC₁A₁中，AC=AA₁=2，∠AA₁C₁=60°，
∴DA=DC₁=1，DC=DA₁=$\sqrt{3}$，
又∵△BAC₁中，BA=BC₁=2，∴BD⊥AC₁，（三线合一），且BD=$\sqrt{3}$，
∴△BCD中，BC²=DB²+DC²，∴BD⊥DC，
又∵DC?面AA₁C₁C，且DC∩AC₁=D，
∴BD⊥面AA₁C₁C．
解：（2）由（1）知DA₁，DA，DB两两垂直，
建立如图空间直角坐标系
A₁（$\sqrt{3}，0，0$），A（0，1，0），
B（0，0，$\sqrt{3}$），C₁（0，-1，0），
平面ABC₁的一个法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面ABA₁的一个法向量，
$\overrightarrow{AB}$=（0，-1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（$\sqrt{3}$，-1，0），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=-y+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{A}_{1}}=\sqrt{3}x-y=0}\end{array}\right.$，令y=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}，1$），
设二面角A₁-AB-C₁为θ，则0°＜θ＜180°，
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
sinθ=$\sqrt{1-（\frac{1}{\sqrt{5}}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．