Question

8．根据最新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在0～50，各类人群可正常活动．某市环保局在2014年对该市进行了为期一年的空气质量检测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图．
（Ⅰ）求a的值；并根据样本数据，试估计这一年度的空气
质量指数的平均值；
（Ⅱ）用这50个样本数据来估计全年的总体数据，将频率视为概率．如果空气质量指数不超过20，就认定空气质量为“最优等级”．从这一年的监测数据中随机抽取2天的数值，其中达到“最优等级”的天数为ξ，求ξ的分布列，并估计一个月（30天）中空气质量能达到“最优等级”的天数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由频率分布直方图能求出a的值和50个样本中空气质量指数的平均值，从而能估计2014年这一年度空气质量指数的平均值．
（Ⅱ）利用样本估计总体，该年度空气质量指数在[0，20]内为“最优等级”，且指数达到“最优等级”的概率为0.3，则ξ～B（2，0.3）．由此能求出ξ的分布列和一个月（30天）中空气质量能达到“最优等级”的天数．

解答 解：（Ⅰ）由题意，得（0.03+0.032+a+0.01+0.008）×10=1，
解得a=0.02．…（3分）
50个样本中空气质量指数的平均值为：
$\overline X=0.1×5+0.2×15+0.32×25+0.3×35+0.08×45=25.6$
由样本估计总体，可估计2014年这一年度空气质量指数的平均值约为25.6  …（6分）
（Ⅱ）利用样本估计总体，该年度空气质量指数在[0，20]内为“最优等级”，
且指数达到“最优等级”的概率为0.3，则ξ～B（2，0.3）．
ξ的可能取值为0，1，2，…（7分）
$P（ξ=0）=C_2^0{（0.3）^0}×{（0.7）^2}=\frac{49}{100}，P（ξ=1）=C_2^1（0.3）×（0.7）=\frac{42}{100}$，
$P（ξ=2）=C_2^2{（0.3）^2}=\frac{9}{100}$…（10分）
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P	$\frac{49}{100}$	$\frac{42}{100}$	$\frac{9}{100}$

…（11分）$Eξ=0×\frac{49}{100}+1×\frac{42}{100}+2×\frac{9}{100}=0.6$．（或者Eξ=2×0.3=0.6），…（12分）
设一个月（30天）中空气质量能达到“最优等级”的天数为η，则η～B（30，0.3）
故一个月（30天）中空气质量能达到“最优等级”的天数大约为Eη=30×0.3=9天．…（13分）

点评 本题考查频率分直方图的应用，考查离散型随机变量的概率分布列的求法，在历年高考中都是必考题型之一．