Question

20．已知直线$\sqrt{3}$x-y-$\sqrt{3}$=0与x轴的交点为N，与抛物线y²=2px（p＞0）相交于点A，与抛物线的准线相交于点B，点N为AB的中点．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点M（m，0）（m＜0）作斜率为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$的直线与抛物线y²=2px相交于C，D两点，F为抛物线的焦点，如果
|CD|²=$\frac{64}{13}$|FC|•|FD|，求∠CFD的余弦值．

Answer 1

分析 （1）求出N（1，0），可设$B（-\frac{p}{2}，{y_0}）$，求出A点的坐标，代入抛物线方程，解得p=2，即可求出抛物线的方程．
（2）联立直线与抛物线方程，利用判别式求出m的范围，设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），利用韦达定理，弦长公式，求解|CD|²=$\frac{64}{13}$|FC|•|FD|，两侧数据，利用向量的数量积化简，求解即可．

解答 解：（1）由题意得N（1，0），可设$B（-\frac{p}{2}，{y_0}）$，
由点N为AB的中点得A点的坐标为$A（2+\frac{p}{2}，-{y_0}）$，
所以${（-{y_0}）^2}=2p（2+\frac{p}{2}）$且${y_0}=\sqrt{3}（-\frac{p}{2}-1）$，解得p=2或p=-6（舍去），
所以抛物线的方程为y²=4x．
（2）把$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}（x-m）$代入y²=4x得x²-（2m+12）x+m²=0，
因为△=4m²+48m+144-4m²＞0，所以m＞-3，
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
则${x_1}+{x_2}=2m+12，{x_1}{x_2}={m^2}$，
$|{CD}|=\sqrt{1+{{（\frac{{\sqrt{3}}}{3}）}^2}}•\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\frac{2}{3}\sqrt{3}•\sqrt{48m+144}$，$|{FC}|•|{FD}|=（{x_1}+1）•（{x_2}+1）={x_1}{x_2}+{x_1}+{x_2}+1={m^2}+2m+13$，
由13|CD|²=64|FC|•|FD|得$\frac{4}{3}（48m+144）•13=64•（{m^2}+2m+13）$，
解得m=-2或m=13（舍去），
因为${y_1}•{y_2}=\frac{1}{3}（{x_1}-m）（{x_2}-m）=\frac{1}{3}[{x_1}{x_2}-m（{x_1}+{x_2}）+{m^2}]=-4m$
又$\overrightarrow{FC}•\overrightarrow{FD}=（{x_1}-1，{y_1}）•（{x_2}-1，{y_2}）={x_1}{x_2}-（{x_1}+{x_2}）+1+{y_1}{y_2}={m^2}-6m-11=5$，
因为$|{FC}|•|{FD}|=（{x_1}+1）•（{x_2}+1）={x_1}{x_2}+{x_1}+{x_2}+1={m^2}+2m+13=13$，
所以由$\overrightarrow{FC}•\overrightarrow{FD}=|{FC}|•|{FD}|•cos∠CFD$，
得$cos∠CFD=\frac{5}{13}$．

点评 本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系，向量在平面解析几何中的应用，考查转化思想以及计算能力．