Question

13．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），且点$P（1，\frac{3}{2}）$在椭圆C上，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过椭圆C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{{{b^2}-\frac{5}{3}}}$=1上异于其顶点的任一点P，作圆O：x²+y²=$\frac{4}{3}$的两条切线，切点分别为M，N（M，N不在坐标轴上），若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，证明：$\frac{1}{{3{m^2}}}+\frac{1}{n^2}$为定值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得c=1，将P代入椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）由题意：C₁：$\frac{x^2}{4}+\frac{{3{y^2}}}{4}=1$，设点P（x₁，y₁），M（x₂，y₂），N（x₃，y₃），求出PM，PN方程，求得直线MN方程，求出MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，结合椭圆方程，即可得到定值．

解答 解：（1）由题意得：c=1，所以a²=b²+1，
又因为点$P（1，\frac{3}{2}）$在椭圆C上，所以$\frac{1}{a^2}+\frac{9}{{4{b^2}}}=1$，
可解得a²=4，b²=3，
所以椭圆标准方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）证明：由题意：C₁：$\frac{x^2}{4}+\frac{{3{y^2}}}{4}=1$，
设点P（x₁，y₁），M（x₂，y₂），N（x₃，y₃），
因为M，N不在坐标轴上，所以${k_{PM}}=-\frac{1}{{{k_{OM}}}}=-\frac{x_2}{y_2}$，
直线PM的方程为$y-{y_2}=-\frac{x_2}{y_2}（x-{x_2}）$，
化简得：${x_2}x+{y_2}y=\frac{4}{3}$--------------④
同理可得直线PN的方程为${x_3}x+{y_3}y=\frac{4}{3}$---------------⑤
把P点的坐标代入④、⑤得$\left\{\begin{array}{l}{x_2}{x_1}+{y_2}{y_1}=\frac{4}{3}\\{x_3}{x_1}+{y_3}{y_1}=\frac{4}{3}\end{array}\right.$，
所以直线MN的方程为${x_1}x+{y_1}y=\frac{4}{3}$，
令y=0，得$m=\frac{4}{{3{x_1}}}$，令x=0得$n=\frac{4}{{3{y_1}}}$，
所以${x_1}=\frac{4}{3m}$，${y_1}=\frac{4}{3n}$，又点P在椭圆C₁上，
所以${（\frac{4}{3m}）^2}+3{（\frac{4}{3n}）^2}=4$，
即$\frac{1}{{3{m^2}}}+\frac{1}{n^2}=\frac{3}{4}$为定值．

点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用点满足椭圆方程，考查定值的证明，注意运用圆上一点的切线方程，考查直线方程运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．