Question

18．已知函数f（x）=aln（x+1）-x²，任取x₁，x₂∈（0，1）且x₁≠x₂，不等式$\frac{{f（{x_1}+1）-f（{x_2}+1）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞1恒成立，则实数a的取值范围为a≥15．

Answer 1

分析 利用导数判断函数的单调性，求出函数的定义域，利用函数的导数通过恒成立，转化求解即可．

解答 解：因为$\frac{{f（{x_1}+1）-f（{x_2}+1）}}{{{x_1}-{x_2}}}$表示点（x₁+1，f（x₁+1））与点（x₂+1，f（x₂+1））连线的斜率，
因为x₁，x₂∈（0，1）且x₁≠x₂，不等式$\frac{{f（{x_1}+1）-f（{x_2}+1）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞1$恒成立，
所以函数图象在区间（1，2）内任意两点连线的斜率大于1，
即函数的导数大于1在（1，2）内恒成立，由函数的定义域知，x＞-1，
所以f'（x）=$\frac{a}{x+1}-2x＞1$在（1，2）内恒成立，即a＞2x²+3x+1在（1，2）内恒成立，
即a大于或等于2x²+3x+1在[1，2]上的最大值，
由二次函数的性质知，y=2x²+3x+1在[1，2]上是单调增函数，
故x=2时，y=2x²+3x+1在[1，2]上取最大值为15，故a＞15．
故答案为：a≥15．

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，二次函数的性质的应用，考查转化思想以及计算能力．