Question

6．如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且$\overrightarrow{AM}$=x$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}$=y$\overrightarrow{AC}$，则x+y的最小值为（　　）

• A． 2
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{4}{3}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 由条件通过三角形的重心与三点共线推出∴$\frac{1}{3y}$+$\frac{1}{3x}$=1，然后根据基本不等式即可求出x+y的最小值．

解答 解：根据条件：$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{y}\overrightarrow{AN}$，$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{x}\overrightarrow{AM}$；
又$\overrightarrow{AG}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$；
∴$\overrightarrow{AG}$=$\frac{1}{3x}\overrightarrow{AM}+\frac{1}{3y}\overrightarrow{AN}$；
又M，G，N三点共线；
∴$\frac{1}{3y}$+$\frac{1}{3x}$=1；
∵x＞0，y＞0；
∴x+y=（x+y）（$\frac{1}{3x}$+$\frac{1}{3y}$）=$\frac{1}{3}$+$\frac{x}{3y}$+$\frac{y}{3x}$+$\frac{1}{3}$≥$\frac{2}{3}$+2$\sqrt{\frac{x}{3y}•\frac{y}{3x}}$=$\frac{4}{3}$；
x+y的最小值为$\frac{4}{3}$．当且仅当x=y=$\frac{2}{3}$．
故选：C．

点评 考查三角形重心的概念及性质，向量数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，以及三点共线的充要条件，基本不等式的应用．