Question

11．已知函数f（x）=e^x-a（x+1），
（1）求f（x）的单调区间及a=1时的极值；
（2）解关于x的不等式e^x（x-1）＞（x-1）（$\frac{1}{2}$x²+x+1）．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=e^x-a，对a分类讨论：a≤0时，f′（x）＞0，即可得出单调性．a＞0时，令f′（x）=e^x-a=0，解得x=lna．进而判断单调性．a=1时，f′（x）=e^x-1，f′（0）=0，因此x=0时，函数f（x）取得极小值．
（2）①x=1时不成立．舍去．②x＞1时，不等式e^x（x-1）＞（x-1）（$\frac{1}{2}$x²+x+1）化为：不等式e^x＞$\frac{1}{2}$x²+x+1．令g（x）=e^x-（$\frac{1}{2}$x²+x+1），利用导数研究其单调性即可得出不等式e^x（x-1）＞（x-1）（$\frac{1}{2}$x²+x+1）的解集．
③x＜1时，不等式e^x（x-1）＞（x-1）（$\frac{1}{2}$x²+x+1）化为：不等式e^x＜$\frac{1}{2}$x²+x+1．令g（x）=e^x-（$\frac{1}{2}$x²+x+1），由①可得：g（x）在（-∞，1）上单调递增，且g（0）=0，即可得出不等式的解集．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-a，因此a≤0时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在R上单调递增．
a＞0时，令f′（x）=e^x-a=0，解得x=lna．
∴函数f（x）在（-∞，lna）单调递减；在（lna，+∞）上单调递增．
a=1时，f′（x）=e^x-1，f′（0）=0，因此x=0时，函数f（x）取得极小值，f（0）=0．
（2）①x=1时不成立．舍去
②x＞1时，不等式e^x（x-1）＞（x-1）（$\frac{1}{2}$x²+x+1）化为：不等式e^x＞$\frac{1}{2}$x²+x+1．
令g（x）=e^x-（$\frac{1}{2}$x²+x+1），g′（x）=e^x-x-1，g^″（x）=e^x-1＞e-1．
∴g′（x）在[1，+∞）上单调递增，∴g′（x）＞g′（1）=e-2＞0．
∴函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，∴g（x）＞g（1）=e-2.5＞0，
因此不等式e^x＞$\frac{1}{2}$x²+x+1的解集为（1，+∞）．
即不等式e^x（x-1）＞（x-1）（$\frac{1}{2}$x²+x+1）的解集为（1，+∞）．
③x＜1时，不等式e^x（x-1）＞（x-1）（$\frac{1}{2}$x²+x+1）化为：不等式e^x＜$\frac{1}{2}$x²+x+1．
令g（x）=e^x-（$\frac{1}{2}$x²+x+1），
由①可得：g（x）在（-∞，1）上单调递增，且g（0）=0，
∴x＜0时，g（x）＜0，因此x＜1时，不等式e^x（x-1）＞（x-1）（$\frac{1}{2}$x²+x+1）的解集为（-∞，0）．
综上可得：x＜1时，不等式e^x（x-1）＞（x-1）（$\frac{1}{2}$x²+x+1）的解集为{x|x＜0，或x＞1}．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、解不等式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．