Question

11．已知直线$l：ρsin（θ-\frac{π}{4}）=4$和圆$C：ρ=2k•cos（θ+\frac{π}{4}）（k≠0）$，直线上的点到圆C上的点的最小距离等于2
（1）求直线L的直角坐标方程；
（2）求k的值．

Answer 1

分析 （1）由直线$l：ρsin（θ-\frac{π}{4}）=4$，得$\frac{\sqrt{2}}{2}ρsinθ$-$\frac{\sqrt{2}}{2}ρcosθ$=4，由此能求出直线L的直角坐标方程．
（2）由圆$C：ρ=2k•cos（θ+\frac{π}{4}）（k≠0）$，得（x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$k）²+（y+$\frac{\sqrt{2}}{2}k$）²=k²，圆C的圆心C（$\frac{\sqrt{2}}{2}k$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}k$），半径r=|k|，由此利用直线上的点到圆C上的点的最小距离等于2，能求出k．

解答 解：（1）∵直线$l：ρsin（θ-\frac{π}{4}）=4$，
∴$ρ（sinθcos\frac{π}{4}-cosθsin\frac{π}{4}）$=$\frac{\sqrt{2}}{2}ρsinθ$-$\frac{\sqrt{2}}{2}ρcosθ$=4，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}y-\frac{\sqrt{2}}{2}x=4$．
∴整理，得：直线L的直角坐标方程为x-y+4$\sqrt{2}$=0．
（2）∵圆$C：ρ=2k•cos（θ+\frac{π}{4}）（k≠0）$，
∴圆C：$ρ=2k（cosθcos\frac{π}{4}-sinθsin\frac{π}{4}）$=2k×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosθ-sinθ）=$\sqrt{2}k（cosθ-sinθ）$，
∴${ρ}^{2}=\sqrt{2}kρcosθ-\sqrt{2}kρsinθ$，
∴x²+y²=$\sqrt{2}kx-\sqrt{2}ky$，
即（x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$k）²+（y+$\frac{\sqrt{2}}{2}k$）²=k²，
∴圆C的圆心C（$\frac{\sqrt{2}}{2}k$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}k$），半径r=|k|，
∵直线上的点到圆C上的点的最小距离等于2，
∴$\frac{|\frac{\sqrt{2}}{2}k+\frac{\sqrt{2}}{2}k+4\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=|k|+2，∴|k+4|=|k|+2，
解得k=-1．

点评 本题考查直线的直角坐标方程的求法，考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标与直角坐标互化公式和点到直线的距离公式的合理运用．