Question

2．某企业有甲、乙两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在[29.94，30.06）的零件为优质品，从甲、乙两个分厂生产的零件中各抽取出500件，量其内径尺寸的结果如下表：
甲厂的零件内径尺寸：

分组	[29.86， 29.90）	[29.90，29.94）	[29.94， 29.98）	[29.98， 30.02）	[30.02， 30.06）	[30.06， 30.10）	[30.10， 30.14）
频数	15	30	125	198	77	35	20

乙厂的零件内径尺寸：

分组	[29.86， 29.90）	[29.90， 29.94）	[29.94， 29.98）	[29.98， 30.02）	[30.02， 30.06）	[30.06， 30.10）	[30.10， 30.14）
频数	40	70	79	162	59	55	35

（1）由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99.9%的把握认为“生产的零件是否为优质品与在不同分厂生产有关”：

	甲厂	乙厂	合计
优质品
非优质品
合计

附表：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

（2）现用分层抽样方法（按优质品和非优质品分二层），从乙厂中抽取5件零件，从这已知5件零件中任意抽取2件，将这2件零件中的优质品数记为X，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）由已知可得：2×2列联表，

	甲厂	乙厂	合计
优质品	400	300	700
非优质品	100	200	300
合计	500	500	1000

利用公式可得观测值k，进而得出结论．
（2）分层抽样方法（按优质品和非优质品分二层），从乙厂中抽取3件优质品，2件非优质品．X的0，1，2，
利用P（X=k）=$\frac{{∁}_{2}^{2-k}{∁}_{3}^{k}}{{∁}_{5}^{2}}$，可得概率及其数学期望．

解答 解：（1）由已知可得：2×2列联表，

	甲厂	乙厂	合计
优质品	400	300	700
非优质品	100	200	300
合计	500	500	1000

k=$\frac{100×（400×200-100×300）}{500×500×700×300}$≈47.619＞10.828，
因此有99.9%的把握认为“生产的零件是否为优质品与在不同分厂生产有关”．
（2）分层抽样方法（按优质品和非优质品分二层），
从乙厂中抽取3件优质品，2件非优质品．X的0，1，2，
P（X=k）=$\frac{{∁}_{2}^{2-k}{∁}_{3}^{k}}{{∁}_{5}^{2}}$，可得P（X=0）=$\frac{1}{10}$，P（X=1）=$\frac{3}{5}$，P（X=2）=$\frac{3}{10}$．
X的分布列

X	0	1	2
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{3}{10}$

数学期望E（X）=0+$1×\frac{3}{5}+2×\frac{3}{10}$=$\frac{6}{5}$．

点评 本题考查了独立性检验数学及其公式、超几何分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．