Question

14．已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²+2n，正项等比数列{b_n}满足：b₁=a₁-1，且b₄=2b₂+b₃．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{c_n}满足：c_n=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$，其前n项和为T_n，求T_n的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出首项，利用a_n=S_n-S_n-1，求解a_n，设{b_n}的公比为q，由题意得q＞0，且b₁=a₁-1，且b₄=2b₂+b₃．求解数列{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）化简c_n，由错位相减法求解前n项和，推出结果即可．

解答 解：（Ⅰ）当n=1时，${a_1}={S_1}={1^2}+2×1=3$，当n≥2时a_n=S_n-S_n-1=2n+1，
当n=1时也适合上式，所以a_n=2n+1．
设{b_n}的公比为q，由题意得q＞0，且${b_1}={a_1}-1=2，{b_4}=2{b_2}+{b_3}∴{b_2}{q^2}=2{b_2}+{b_2}q$，
∴q²-q-2=0∴q=2或q=-1（舍去），
故数列{b_n}的通项公式为${b_n}={2^n}$．
（Ⅱ）${c_n}=\frac{a_n}{b_n}=\frac{2n+1}{2^n}$由错位相减法得${T_n}=5-\frac{2n+5}{2^n}$，∵$\frac{2n+5}{2^n}＞0∴{T_n}＜5$，
又${c_n}=\frac{2n+1}{2^n}＞0∴{T_n}≥{T_1}=\frac{3}{2}$，
∴$\frac{3}{2}≤{T_n}＜5$．

点评 本题考查数列求和，数列通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力．