Question

10．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+4x，（x＜1）}\\{{e}^{x}，（x≥1）}\end{array}\right.$，若函数g（x）=f（x）-kx恰有一个零点，则k的取值范围是（　　）

• A． （e，+∞）
• B． （-∞，e）
• C． （-∞，$\frac{1}{e}$）
• D． [0，e）

Answer 1

分析 利用函数的零点，转化为方程根，转化为两个函数的图象的交点，求出一个零点，然后求解k的范围即可．

解答 解：∵函数函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+4x，（x＜1）}\\{{e}^{x}，（x≥1）}\end{array}\right.$，
∴f（0）=0，
∴x=0是函数y=f（x）-kx的一个零点，
函数g（x）=f（x）-kx恰有一个零点，可得：y=f（x）与y=kx的图象如图：
当x＜1时，由f（x）=kx，两个函数只有一个交点，则k≤1；
当x≥1时，y=e^x，是增函数，x=1时，函数的最小值为：e，
可知k＜e．
f'（x）=e^x∈（1，+∞），
∴要使函数y=f（x）-kx在x＞0时有一个零点，
则k＞1，
∴k＞1，
即实数k的取值范围是（-∞，e），
故选：B．

点评 本题考查的知识点是函数零点及零点的个数，二次函数的图象和性质，指数型函数的图象和性质，难度中档．