Question

15．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}+2t\\ y=-\sqrt{2}+t\end{array}$（t为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂的方程为ρ=$\frac{2}{{\sqrt{1+3{{sin}^2}θ}}}$．
（Ⅰ）求曲线C₁、C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）若A、B分别为曲线C₁、C₂上的任意点，求|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）在曲线C₁的参数方程中，消去参数t，能得到曲线C₁的直角坐标方程；在曲线C₂的方程ρ=$\frac{2}{{\sqrt{1+3{{sin}^2}θ}}}$中，极坐标与直角坐标的互化公式能求出曲线C₁、C₂的直角坐标方程．
（2）设B（2cosθ，sinθ），利用点到直线的距离公式能求出|AB|的最小值．

解答 解：（1）∵在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}+2t\\ y=-\sqrt{2}+t\end{array}$（t为参数），
∴消去参数t，得曲线C₁的直角坐标方程为：x-2y-3$\sqrt{2}$=0，
∵在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂的方程为ρ=$\frac{2}{{\sqrt{1+3{{sin}^2}θ}}}$．
∴ρ²+3ρ²sin²x-4=0，
∴C₂的直角坐标方程为x²+4y²=4，即$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，
${C_1}：x-2y-3\sqrt{2}=0，{C_2}：\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．（6分）
（2）∵A、B分别为曲线C₁、C₂上的任意点，
∴设B（2cosθ，sinθ），
则$|{AB}|=\frac{{|{2cosθ-2sinθ-3\sqrt{2}}|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{|{2\sqrt{2}cos（{θ+\frac{π}{4}}）--3\sqrt{2}}|}}{{\sqrt{5}}}$，
当且仅当$θ=2kπ-\frac{π}{4}（{k∈Z}）$时，
${|{AB}|_{min}}=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{10}}}{5}$．（12分）

点评 本题考查参数方程、极坐标、平面直角坐标方程的互化，考查两点间距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．