Question

20．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，沿平面A₁ACC₁将正方体分成两部分，其中一部分如图所示，过直线A₁C的平面A₁CM与线段BB₁交于点M．
（Ⅰ）当M与B₁重合时，求证：MC⊥AC₁；
（Ⅱ）当平面A₁CM⊥平面A₁ACC₁时，求平面A₁CM与平面ABC所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接C₁B，推导出AB⊥B₁C，BC⊥AC₁，由此能证明MC⊥AC₁．
（Ⅱ）分别以CB、AB、BB₁为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能出平面A₁CM与平面ABC所成锐二面角的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）连接C₁B，在正方形B₁BCC₁中，BC₁⊥B₁C，
正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB⊥平面B₁BCC₁，
B₁C∈平面B₁BCC₁，∴AB⊥B₁C，
∴B₁C⊥平面ABC₁，∴BC⊥AC₁，
∴MC⊥AC₁．-------------（4分）
解：（Ⅱ）正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，CB、AB、BB₁两两垂直，
分别以CB、AB、BB₁为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
设AB=a，则C（-a，0，0），A₁（0，-a，a），
设M（0，0，z），则$\overrightarrow{C{A_1}}=（a，-a，a）$，$\overrightarrow{CM}=（a，0，z）$，
设平面A₁MC的法向量为$\overrightarrow{n_1}=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，
则$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{C{A_1}}=0}\\{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{CM}=0}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{a{x_1}-a{y_1}+a{z_1}=0}\\{a{x_1}+z{z_1}=0}\end{array}}\right.$，令z₁=a，得$\overrightarrow{n_1}=（-z，a-z，a）$，
平面A₁ACC₁的法向量为$\overrightarrow{n_2}=（1，1，0）$，
平面ABC的法向量为$\overrightarrow{n_3}=（0，0，1）$，
∵平面A₁CM⊥平面A₁ACC₁，
∴$\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_1}=0$，得$z=\frac{1}{2}a$，∴$\overrightarrow{n_1}=（-\frac{a}{2}，\frac{a}{2}，a）$，--------（8分）
设平面A₁CM与平面ABC所成锐二面角为θ，
则$cosθ=\frac{{|{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_3}}|}}{{|{\overrightarrow{n_1}}||{\overrightarrow{n_3}}|}}=\frac{a}{{1•\frac{{\sqrt{6}}}{2}a}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
故平面A₁CM与平面ABC所成锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．-------------（12分）

点评 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．