Question

5．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=4cosθ．
（Ⅰ） 求圆C的直角坐标方程；并判断直线l与圆C的位置关系．
（Ⅱ） 设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（2，1），求|PA|+|PB|

Answer 1

分析 （1））直线l的参数方程化为普通方程，得：x+y-3=0，把圆C的方程为ρ=4cosθ化为普通方程，得：x²+y²=4x，求出圆心到直线距离，即可得到结论；
（Ⅱ）利用P（2，1）在弦AB上，根据直线的参数方程是几何意义可得结论．

解答 解：（Ⅰ）直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
化为普通方程，得：x+y-3=0…..3分
把圆C的方程为ρ=4cosθ化为普通方程，得：x²+y²=4x…..6分
即（x-2）²+y²=4
点C到l的距离d=$\frac{|2+0-3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜2，
∴直线l与圆C相交．
（Ⅱ）设点A，B对应的参数分别为t₁，t₂，将$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
带入（x-2）²+y²=4整理得：${t}^{2}+\sqrt{2}t-3=0$，
则$\left\{\begin{array}{l}{{t}_{1}+{t}_{2}=-\sqrt{2}}\\{{t}_{1}{t}_{2}=-3}\end{array}\right.$
又|PA|+|PB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{14}$．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标方程的方法、直线与圆相交问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题