Question

9．已知函数f（x）=e^x-ax（a∈R）
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）的图象与直线y=a交于A、B两点，记A、B两点的横坐标分别为x₁，x₂，且x₁＜x₂，证明：x₁+x₂＜lna²．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）利用函数零点的性质，结合函数单调性和导数之间的关系，构造函数，利用导数进行转化即可证明不等式．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-a，
a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R递增，
a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞lna，令f′（x）＜0，解得：x＜lna，
故f（x）在（-∞，lna）递减，在（lna，+∞）递增；
（2）∵f（x）有两个相异零点，
∴设e^x₁=ax₁，e^x₂=ax₂，①
即e^x₁e^x₂=e^x₁+x₂=a²x₁x₂，
而：x₁+x₂＜2lna，等价于：e^x1+x₂＜e^2lna=elna²=a²，
即a²x₁x₂＜a²，
则等价为x₁x₂＜1，
函数的f（x）的导数f′（x）=e^x-a，
若a≤0，则f′（x）=e^x-a＞0，还是单调递增，则不满足条件．
则a＞0，
由f′（x）＞0得x＞lna，
由f′（x）＜0得x＜lna，
即当x=lna时，还是f（x）取得极小值同时也是最小值f（lna）=e^lna-alna=a（1-lna），
∵f（x）=a有两个根，∴a（1-lna）＜0，
即1-lna＜0，则lna＞1，即a＞e．
要证x₁+x₂＜2lna，则只需要x₂＜2lna-x₁，
又x₂＞lna，则只需要证明f（x₂）＜f（2lna-x₁），
即证f（2lna-x₁）＞f（x₂）=0=f（x₁），
令g（x）=f（2lna-x）-f（x），（x＜lna），
则g（x）=e^2lna-x-a（2lna-x）-e^x+ax，
g′（x）=-a²e^-x+a-e^x+a=-+$\frac{{{（e}^{x}-a）}^{2}}{{e}^{x}}$≤0，
即g（x）在（-∞，lna]上单调递减，
即g（x）＞g（lna）=0，
则命题成立．

点评 本题主要考查函数单调性和导数之间的关系和应用，综合性较强，运算量较大．