Question

1．如图，已知圆内接四边形ABCD中，AB=BC，AD的延长线与BC的延长线交于点P．
（1）求证：$\frac{BC}{BP}$=$\frac{DC}{DP}$；
（2）求证：∠BDC+$\frac{1}{2}∠PDC={90°}$．

Answer 1

分析 （1）利用“两角法”推知△ABP∽△CDP，在根据该相似三角形的对应边成比例和已知条件AB=BC证得结论；
（2）连接BD，AC，根据圆周角定理和等腰三角形的性质推知∠BDC=∠BDA，所以∠ADC=2∠BDC．根据邻补角的定义推知∠PDC+∠ADC=180°，易证$∠BDC+\frac{1}{2}∠PDC={90°}$．

解答 证明：（1）因为∠PDC=∠PBA，∠APB=∠CPD，
所以△ABP∽△CDP，
所以$\frac{AB}{CD}=\frac{BP}{DP}$．
又AB=BC，
所以$\frac{BC}{BP}=\frac{DC}{DP}$．
（2）连接BD，AC，
因为AB=BC，
所以∠BAC=∠BCA，
又∠BAC=∠BDC，∠BCA=∠BDA，
所以∠BDC=∠BDA，
所以∠ADC=2∠BDC．
因为∠PDC+∠ADC=180°，
所以$∠BDC+\frac{1}{2}∠PDC={90°}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理以及等腰三角形的判定与性质．考查学生们的分析能力，属于基础题型．