Question

6．如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，AA₁=h．
（1）若h=2，求AC₁与平面A₁BD所成角的正弦值；
（2）若二面角A₁-BD-C的大小为$\frac{3}{4}$π，求h的值．

Answer 1

分析 （1）以点A为坐标原点，AB，AD，AA₁分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出AC₁与平面A₁BD所成角的正弦值．
（2）求出平面A₁BD的法向量和平面CBD的法向量，利用向量法能求出结果．

解答 解：（1）如图，以点A为坐标原点，AB，AD，AA₁分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，
当h=2时，B（1，0，0），D（0，1，0），A₁（0，0，2），C₁（1，1，2），
则$\overrightarrow{A{C_1}}=（1，1，2）$，$\overrightarrow{{A_1}B}=（1，0，-2）$，$\overrightarrow{{A_1}D}=（0，1，-2）$，
设平面A₁BD的法向量$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
则由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{n}=a-2c=0}\\{\overrightarrow{{A}_{1}D}•\overrightarrow{n}=b-2c=0}\end{array}\right.$，
不妨取c=1，则a=b=2，此时$\overrightarrow{n}$=（2，2，1），
故cos＜$\overrightarrow{A{C}_{1}}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{A{C}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
设AC₁与平面A₁BD所成角为θ，
则sinθ=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{6}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
所以AC₁与平面A₁BD所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$；（5分）
（2）由A₁（0，0，h）得，$\overrightarrow{{A_1}B}=（1，0，-h）$，$\overrightarrow{{A_1}D}=（0，1，-h）$，
设平面A₁BD的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}B}=x-hz=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}D}=y-hz=0}\end{array}\right.$，
不妨取z=1，则x=y=h，此时$\overrightarrow{m}$=（h，h，1），（7分）
又平面CBD的法向量$\overrightarrow{A{A_1}}=（0，0，h）$，
故$cos＜\overrightarrow{A{A}_{1}}，\overrightarrow{m}＞$=$\frac{\overrightarrow{A{A}_{1}}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{A{A}_{1}}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{h}{\sqrt{1+2{h}^{2}}•h}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得$h=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．（10分）

点评 本题考查线面角的正弦值的求法，考查线的涂布以的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．