Question

19．已知函数f（x）=x^α，当x∈（1，+∞）时，f（x）-x＜0，则（　　）

• A． 0＜α＜1
• B． α＜1
• C． α＞0
• D． α＜0

Answer 1

分析 令g（x）=f（x）-x=x^a-x，x∈（1，+∞），可求g’（x）=ax^a-1-1，可证a＜1，分类讨论当a≤0时，当1＞a＞0时，证明g（x）＜0都成立即可得解．

解答 解：令g（x）=f（x）-x=x^a-x，x∈（1，+∞），
则g’（x）=ax^a-1-1，
若a＞1，则x^a-1 必大于x⁰=1，此时必有g’（x）＞0，
g（x）单调递增．g（x）＞g（1）=0，
所以：a≤1．
若a=1，那么g（x）=0，舍去．
a≤0时，显然g’（x）＜0，
所以：g（x）在定义域单调递减．g（x）无限接近但小于g（1）=0，成立．
1＞a＞0时，0＜x^a-1＜1，那么0＜ax^a-1＜1，那么g’（x）＜0恒成立，同理g（x）＜0成立．
所以a＜1．
故选：B．

点评 本题主要考查了指数函数的图象和性质，考查了导数的概念及其应用，考查了转化思想和分类讨论思想的应用，属于中档题．