Question

17．设函数$f（x）=\frac{{3{x^2}+ax}}{e^x}（{a∈R}）$．若f（x）在x=0处取得极值，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=$\frac{3}{e}$x．

Answer 1

分析 求出导数，可得f'（0）=0，解出a=0，可得切线斜率和切点，运用点斜式方程可得切线方程．

解答 解：函数$f（x）=\frac{{3{x^2}+ax}}{e^x}（{a∈R}）$的导数为$f'（x）=\frac{{-3{x^2}+（6-a）x+a}}{e^x}$，
由条件知f'（0）=0得a=0，
则$f（x）=\frac{{3{x^2}}}{e^x}，f'（x）=\frac{{-3{x^2}+6x}}{e^x}，f（1）=\frac{3}{e}，f'（1）=\frac{3}{e}$，
则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为$y-\frac{3}{e}=\frac{3}{e}（x-1）$，
即$y=\frac{3}{e}x$．
故答案为：y=$\frac{3}{e}$x．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和极值点，考查导数的几何意义，正确求导和运用点斜式方程是解题关键，属于基础题．