Question

12．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，$CD=2AB=2BP=\sqrt{2}AD$，$\overrightarrow{CE}=λ\overrightarrow{EB}$（λ＞0），DE⊥平面PBC，侧面ABP⊥底面ABCD
（1）求λ的值；
（2）求直线CD与面PDE所成角θ的大小．

Answer 1

分析 （1）先证明BP⊥平面ABCD，以D为原点建立坐标系，设AB=1，求出$\overrightarrow{DE}$，$\overrightarrow{BC}$的坐标，根据$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{BC}=0$列方程解出λ；
（2）求出平面PDE的法向量$\overrightarrow{u}$，通过计算＜$\overrightarrow{u}，\overrightarrow{DC}$＞得出θ．

解答 解：（1）∵AB⊥AD，平面ABP⊥底面ABCD，平面ABP∩面ABCD=AB，
∴AD⊥面ABP，又BP?平面ABP，
∴AD⊥BP，
∵DE⊥平面PBC面，BP?平面PBC，
∴DE⊥BP，又AD∩DE=D，AD?平面ABCD，DE?平面ABCD，
∴BP⊥面ABCD，
过点D做BP的平行线为z轴，DA，DC分别为x，y轴建立空间直角坐标系，
设AB=BP=1，则AD=$\sqrt{2}$，CD=2，
∴B（$\sqrt{2}$，1，0），C（0，2，0），D（0，0，0），$\overrightarrow{BC}$=（-$\sqrt{2}$，1，0），$\overrightarrow{DC}$=（0，2，0），
∵$\overrightarrow{CE}=λ\overrightarrow{EB}$，∴$\overrightarrow{CE}=\frac{λ}{1+λ}\overrightarrow{CB}$=（$\frac{\sqrt{2}λ}{1+λ}$，-$\frac{λ}{1+λ}$，0），
∴$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CE}$=（$\frac{\sqrt{2}λ}{1+λ}$，$\frac{λ+2}{1+λ}$，0），
∵DE⊥BC，∴$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{BC}=\frac{-2λ}{1+λ}+\frac{λ+2}{1+λ}=0$，
解得λ=2．
（2）由（1）知$\overrightarrow{DE}=（\frac{{2\sqrt{2}}}{3}，\frac{4}{3}，0）$，$\overrightarrow{DP}=（\sqrt{2}，1，1）$，设平面PDE法向量为$\overrightarrow u=（x，y，z）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow u•\overrightarrow{DE}=0\\ \overrightarrow u•\overrightarrow{DP}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{2}x+4y=0}\\{\sqrt{2}x+y+z=0}\end{array}\right.$，令z=1得$\overrightarrow u=（-\sqrt{2}，1，1）$，
∴cos＜$\overrightarrow{u}，\overrightarrow{DC}$＞=$\frac{\overrightarrow{u}•\overrightarrow{DC}}{|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{DC}|}$=$\frac{2}{2•2}$=$\frac{1}{2}$，∴＜$\overrightarrow{u}$，$\overrightarrow{DC}$＞=60°，
∴直线CD与面PDE所成角θ=30°．

点评 本题考查了空间角的计算与空间向量的应用，属于中档题．