Question

20．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{2}^{x}+2，x≤1}\\{\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}，x＞1}\end{array}\right.$，若存在实数x₁＜x₂，使得f（x₁）=f（x₂），则x₂f（x₁）的取值范围是（0，10）．

Answer 1

分析 作出函数f（x）的图象，得到1＜x₂＜5．将x₂f（x₁）转化为x₂f（x₂），利用一元二次函数的单调性的性质进行求解即可．

解答 解：当x≤1时，f（x）=-2^x+2∈（0，2]，
由$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$=2得$\frac{1}{2}$x=$\frac{5}{2}$，得x=5，
若存在实数x₁＜x₂，使得f（x₁）=f（x₂），
则1＜x₂＜5．
则x₂f（x₁）=x₂f（x₂）=x₂（$\frac{1}{2}$x₂-$\frac{1}{2}$）
=$\frac{1}{2}$（x₂²-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{8}$，
则函数在1＜x₂＜5上为增函数，
当x₂=1时，$\frac{1}{2}$（x₂²-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{8}$=0，
当x₂=5时，$\frac{1}{2}$（x₂²-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{8}$=10，
即0＜x₂f（x₁）＜10，
即x₂f（x₁）的范围是（0，10），
故答案为：（0，10）

点评 本题主要考查分段函数的应用，根据条件将问题转化为一元二次函数是解决本题的关键．