Question

11．函数f（x）=$\frac{x}{{e}^{2x}}$+1的最大值为$\frac{1}{2e}+1$．

Answer 1

分析 求出f′（x）=$\frac{1-2x}{{e}^{2x}}$，由此利用导数性质能求出函数f（x）=$\frac{x}{{e}^{2x}}$+1的最大值．

解答 解：∵f（x）=$\frac{x}{{e}^{2x}}$+1，
∴x∈R，f′（x）=$\frac{{e}^{2x}-2x{e}^{2x}}{（{e}^{2x}）^{2}}$=$\frac{1-2x}{{e}^{2x}}$，
由f′（x）=0，得1-2x=0，解得x=$\frac{1}{2}$，
当x∈（0，$\frac{1}{2}$）时，f′（x）＞0；当x∈（$\frac{1}{2}，+∞$）时，f′（x）＜0，
∴x=$\frac{1}{2}$时，函数f（x）=$\frac{x}{{e}^{2x}}$+1取最大值f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{\frac{1}{2}}{{e}^{2×\frac{1}{2}}}$+1=$\frac{1}{2e}+1$．
故答案为：$\frac{1}{2e}+1$．

点评 本题考查函数的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．