Question

3．已知方程2x²+3x-1=0的一非零实根是x₁，ax²+3x-1=0（a≠0）的一非零实根是x₂．函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}+\frac{3}{2}{x^2}$-x+3在（x₁，x₂）有且仅有一个极值点，则a的取值范围是[-$\frac{9}{4}$，0）∪（0，1]．

Answer 1

分析 由函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}+\frac{3}{2}{x^2}$-x+3在（x₁，x₂）有且仅有一个极值点，得到f'（x）=x²+3x-1在（x₁，x₂）有且仅有一解，根据零点存在定理即可求出a的范围．

解答 解：∵2x²+3x-1=0的一非零实根是x₁，ax²+3x-1=0（a≠0）的一非零实根是x₂，
∵f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}+\frac{3}{2}{x^2}$-x+3，
∴f'（x）=x²+3x-1，
∵函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}+\frac{3}{2}{x^2}$-x+3在（x₁，x₂）有且仅有一个极值点
∴f'（x）=x²+3x-1在（x₁，x₂）有且仅有一解，
∴f′（x₁）•f′（x₂）=（x₁²+3x₁-1）（x₂²+3x₂-1）
=（2x₁²+3x₁-1-x₁²）[ax₂²+3x₂-1-（a-1）x₂²]=-（1-a）x₁²x₂²≤0，
∴1-a≥0，
∴a≤1，
又△=9+4a≥0，
∴$a≥-\frac{9}{4}$，
∴$-\frac{9}{4}≤a≤1$，
∵a≠0，
∴a的取值范围为[-$\frac{9}{4}$，0）∪（0，1]，
故答案为：[-$\frac{9}{4}$，0）∪（0，1]，

点评 本题考查了导数和函数的极值的关系以及函数零点存在定理，考查了学生的运算能力，属于中档题．