Question

15．已知函数f（x）=|2x-a|+|2x+3|，g（x）=1+$\sqrt{2x-{x^2}}$．
（Ⅰ）若a=1时，解不等式：|2x-a|+|2x+3|≤6；
（Ⅱ）若对任意x₁∈[0，2]，都存在x₂∈R，使得g（x₁）=f（x₂）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若a=1时，分类讨论，利用绝对值的意义，解不等式：|2x-a|+|2x+3|≤6；
（Ⅱ）由题意知函数y=g（x）的值域为函数y=f（x）的值域的一个子集，而f（x）=|2x-a|+|2x+3|≥|2x-a-2x-3|=|a+3|，1≤g（x）≤2，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）a=1时，不等式可化为：|2x-1|+|2x+3|≤6
x＜-$\frac{3}{2}$时，不等式化为1-2x-2x-3≤6，∴x≥-2，∴-2≤x＜-$\frac{3}{2}$；
-$\frac{3}{2}$$≤x≤\frac{1}{2}$时，不等式化为1-2x+2x+3≤6恒成立；
x＞$\frac{1}{2}$时，不等式化为2x-1+2x+3≤6，∴x≤1，∴$\frac{1}{2}$＜x≤1；
综上所述，不等式的解集为{x|-2≤x≤1}．
（Ⅱ）由题意知函数y=g（x）的值域为函数y=f（x）的值域的一个子集，
而f（x）=|2x-a|+|2x+3|≥|2x-a-2x-3|=|a+3|，1≤g（x）≤2，
有|a+3|≤1⇒-4≤a≤-2．

点评 本题考查不等式的解法，考查分类讨论的数学思想，正确转化是关键．