Question

7．证明不等式：a，b，c∈R，a⁴+b⁴+c⁴≥abc（a+b+c）．

Answer 1

分析 由均值不等式先推导出a⁴+b⁴+c⁴≥a²b²+b²c²+a²c²，再由a²b²+b²c²≥2ab²c；b²c²+a²c²≥2abc²；a²b²+a²c²≥2a²bc，能证明a⁴+b⁴+c⁴≥a²b²+b²c²+c²a²≥abc（a+b+c）．

解答 证明：∵a⁴+b⁴≥2a²b²，b⁴+c⁴≥2b²c²，c⁴+a⁴≥2a²c²
∴2（a⁴+b⁴+c⁴）≥2（a²b²+b²c²+a²c²）
即a⁴+b⁴+c⁴≥a²b²+b²c²+a²c²
又a²b²+b²c²≥2ab²c；b²c²+a²c²≥2abc²；a²b²+a²c²≥2a²bc
∴2（a²b²+b²c²+a²c²）≥2（a²bc+ab²c+abc²）
即a²b²+b²c²+a²c²≥abc（a+b+c）
∴a⁴+b⁴+c⁴≥a²b²+b²c²+c²a²≥abc（a+b+c）．

点评 本题考查不等式的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意均值不等式的性质的合理运用．