Question

16．二次函数f（x）开口向上，且满足f（x+1）=f（3-x）恒成立．已知它的两个零点和顶点构成边长为2的正三角形．
（1）求f（x）的解析式；
（2）讨论f（x）在[t，t+3]的最小值．

Answer 1

分析 （1）f（x）的对称轴为x=2，从而得出f（x）的零点和顶点坐标，利用待定系数法求出解析式；
（2）讨论对称轴和区间[t，t+3]的位置关系，得出f（x）的单调性，根据单调性计算最小值．

解答 解：（1）∵f（x+1）=f（3-x），∴f（x）的对称轴为x=$\frac{x+1+3-x}{2}$=2，
∵f（x）的两个零点和顶点构成边长为2的正三角形，且f（x）开口向上，
∴f（x）的两个零点为1，3，顶点坐标为（2，-$\sqrt{3}$），
设f（x）=a（x-1）（x-3），则f（2）=-$\sqrt{3}$，
即-a=-$\sqrt{3}$，∴a=$\sqrt{3}$．
∴f（x）=$\sqrt{3}$（x-1）（x-3）．
（2）若2≤t，则f（x）在[t，t+3]上是增函数，
∴f_min（x）=f（t）=$\sqrt{3}$（t-1）（t-3），
若t＜2＜t+3，即-1＜t＜2时，f（x）在[t，t+3]上先减后增，
∴f_min（x）=f（2）=-$\sqrt{3}$，
若2≥t+3，即t≤-1时，f（x）在[t，t+3]上是减函数，
∴f_min（x）=f（t+3）=$\sqrt{3}$t（t+2）．
综上，f_min（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}t（t+2），t≤-1}\\{-\sqrt{3}，-1＜t＜2}\\{\sqrt{3}（t-1）（t-3），t≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了二次函数解析式的求法，二次函数的单调性，二次函数的最值计算，属于中档题．