Question

4．已知曲线C：ρ=$\frac{2}{1-sinθ}$，直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$ （t为参数，0≤α＜π）．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A、B两点（A在第一象限），当$\overrightarrow{OA}$+3$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{0}$时，求α的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用极坐标与直角坐标互化方法，求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$ 代入x²=4（1+y），可得t²cos²α=4（1+tsinα），即t²cos²α-4tsinα-4=0，利用参数的几何意义，结合韦达定理，求α的值．

解答 解：（Ⅰ）曲线C：ρ=$\frac{2}{1-sinθ}$，即ρ-ρsinθ=2，
∴ρ=2+ρsinθ，
∴x²+y²=（2+y）²，
即曲线C的直角坐标方程为x²=4（1+y）；
（Ⅱ）直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$ 代入x²=4（1+y），
可得t²cos²α=4（1+tsinα），即t²cos²α-4tsinα-4=0
设A，B对应的参数分别为t₁，t₂，
则t₁+t₂=$\frac{4sinα}{co{s}^{2}α}$，①t₁t₂=-$\frac{4}{co{s}^{2}α}$②，
∵$\overrightarrow{OA}$+3$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{0}$，∴t₁=-3t₂，③
①②③联立可得$\frac{4}{\sqrt{3}cosα}$=$\frac{4sinα}{co{s}^{2}α}$，∴tanα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵0≤α＜π，∴α=$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查极坐标与直角坐标互化方法，考查参数方程的运用，属于中档题．