Question

18．已知函数f（x）=a-|x-1|-|x+1|．
（Ⅰ）当a=6时，求不等式f（x）＞3的解集；
（Ⅱ）若二次函数y=x²+2x+3与函数y=f（x）的图象恒有公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a=6时便可得出x满足：|x+1|+|x-1|＜3，讨论x，从而去掉绝对值符号，这样便可求出每种情况x的范围，可得不等式的解集；
（Ⅱ）由二次函数y=x²+2x+3=（x+1）²+2在x=-1取得最小值2，f（x）在x=-1处取得最大值a-2，故有a-2≥2，由此求得m的范围．

解答 解：（Ⅰ）由题设知：6-|x-1|-|x+1|＞3．
|x+1|+|x-1|＜3；
①当x＞1时，得x+1+x-1＜3，解得x＜$\frac{3}{2}$；
②当-1≤x≤1时，得x+1+1-x＜3，恒成立；
③当x＜-1时，得-x-1-x+1＜3，解得x＞-$\frac{3}{2}$；
∴不等式的解集为：（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）；
解：由二次函数y=x²+2x+3=（x+1）²+2，该函数在x=-1取得最小值2，
因为f（x）=a-|x-1|-|x+1|．
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x+a，x＜-1}\\{a-2，-1≤x≤1}\\{a-2x，x＞1}\end{array}\right.$，在x=-1处取得最大值a-2，
所以要使二次函数y=x²+2x+3与函数y=f（x）的图象恒有公共点，只需a-2≥2，
求得a≥4．

点评 本题主要考查了函数的恒成立问题，绝对值不等式的解法，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．