Question

5．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重合，直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．
（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）设直线l与曲线C相交于P，Q两点，求|PQ|的值．

Answer 1

分析 （1）利用极坐标与直角坐标的对于关系即可得出曲线C的方程；对直线l的参数方程消参数可得直线l的普通方程；
（2）把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得出关于参数t的一元二次方程，利用参数的几何意义和根与系数的关系计算|PQ|．

解答 解：（1）∵ρ=4cosθ．∴ρ²=4ρcosθ，
∵ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，∴x²+y²=4x，
所以曲线C的直角坐标方程为（x-2）²+y²=4，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）消去t得：$x-\sqrt{3}y+1=0$．所以直线l的普通方程为$x-\sqrt{3}y+1=0$．
（2）把$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$代入x²+y²=4x得：t²-3$\sqrt{3}$t+5=0．
设其两根分别为t₁，t₂，则t₁+t₂=3$\sqrt{3}$，t₁t₂=5．
所以|PQ|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了参数方程，极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数的几何意义，属于中档题．