Question

14．已知底面为矩形的四棱锥D-ABCE，AB=1，BC=2，AD=3，DE=$\sqrt{5}$，且二面角D-AE-C的正切值为-2．
（1）求证：平面ADE⊥平面CDE；
（2）求点D到平面ABCE的距离；
（3）求二面角A一BD-C的大小．

Answer 1

分析 （1）推导出AE⊥CE，AE⊥ED，从而AE⊥平面CD，由此能证明平面ADE⊥平面CDE．
（2）推导出DF⊥平面ABCE，AE⊥平面CDE，则∠DEC为二面角D-AE-C的平面角，由此能求出点D到平面ABCE的距离．
（3）以E点为原点，直线EA为x轴，直线EC为y轴，过点E与DF平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BD-C的大小．

解答 证明：（1）∵ABCE为矩形，∴AE⊥CE，…（1分）
又∵AE²+DE²=AD²，∴AE⊥ED…（2分）
而CE∩DE=E，∴AE⊥平面CD…（3分）
而AE⊆平面ADE，
∴平面ADE⊥平面CDE．…（4分）
解：（2）由（1）平面ABCEE⊥平面CDE且交线为CE，过点D作DF⊥CE于点F，
则DF⊥平面ABCE，…（5分）
由（1）AE⊥平面CDE，∴∠DEC为二面角D-AE-C的平面角，
∵二面角D-AE-C的正切值为-2，∴tan∠DEC=-2，∴tan∠DEF=2．…（6分）
设EF=x，DF=2x，x²+（2x）²=5，x=1，DF=2，
∴点D到平面ABCE的距离为2．…（8分）
（3）以E点为原点，直线EA为x轴，直线EC为y轴，过点E与DF平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
E（0，0，0），A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，1，0），D（0，-1，2），
$\overrightarrow{AB}=（{0，1，0}），\overrightarrow{BD}=（{-2，-2，2}），\overrightarrow{CB}=（{2，0，0}）$…（9分）
设平面ABD的一个法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{AB}=y=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{BD}=-2x-2y+2z=0}\end{array}\right.$，取x=-1，得$\overrightarrow{n_1}=（{-1，0．-1}）$，
设平面CBD的一个法向量为$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（x，y，z），
同理求得$\overrightarrow{n_2}=（{0，1，1}）$，
设二面角A-BD-C的大小为θ，则$cosθ=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|{\overrightarrow{n_1}}||{\overrightarrow{n_2}}|}}=-\frac{1}{2}，θ=120°$，
故二面角A-BD-C的大小为120°．…（12分）

点评 本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．