Question

2．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{6}$，a_n+1=$\frac{1}{3}$（a_n-1）．
（1）证明：{a_n+$\frac{1}{2}$}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）证明：a₁+a₂+…+a_n＜$\frac{2-n}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由${a_1}=\frac{1}{6}，{a_{n+1}}=\frac{1}{3}（{a_n}-1）$，变形为${a_{n+1}}+\frac{1}{2}=\frac{1}{3}（{a_n}+\frac{1}{2}）$，利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用等比数列的求和公式、数列的单调性即可得出．

解答 证明：（1）∵${a_1}=\frac{1}{6}，{a_{n+1}}=\frac{1}{3}（{a_n}-1）$，∴${a_{n+1}}+\frac{1}{2}=\frac{1}{3}（{a_n}+\frac{1}{2}）$
故$\left\{{{a_n}+\frac{1}{2}}\right\}$是首项为${a_1}+\frac{1}{2}=\frac{2}{3}$，公比为$\frac{1}{3}$的等比数列，且${a_n}+\frac{1}{2}=\frac{2}{3^n}$
故${a_n}=\frac{2}{3^n}-\frac{1}{2}$．
（2）${a_1}+{a_2}+…+{a_n}=2（\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{3^n}）-\frac{n}{2}$=$\frac{2×\frac{1}{3}×（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{n}{2}$=$（1-\frac{1}{3^n}）-\frac{n}{2}＜\frac{2-n}{2}$
故${a_1}+{a_2}+…+{a_n}＜\frac{2-n}{2}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的求和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．