Question

13．已知a，b是实数，1和-1是函数f（x）=x³+ax²+bx的两个极值点．设h（x）=f（f（x））-c，其中c∈（-2，2），函数y=h（x）的零点个数（　　）

• A． 8
• B． 9
• C． 10
• D． 11

Answer 1

分析 求出函数的导函数，根据1和-1是函数的两个极值点代入列方程组，求解a，b．令f（x）=t，则h（x）=f（t）-c．
先讨论关于x的方程f（x）=d根的情况，d∈[-2，2]，当|d|=2时，由（2 ）可知，f（x）=-2的两个不同的根为1和一2，注意到f（x）是奇函数，f（x）=2的两个不同的根为-1和2．当|d|＜2时，先分|d|=2和|d|＜2讨论关于的方程f（x）=d的情况；再考虑函数y=h（x）的零点．

解答 解：（1）由 f（x）=x³+ax²+bx，得 f′（x）=3x²+2ax+b．
∵1和-1是函数f（x）的两个极值点，
∴f′（1）=3-2a+b=0，f′（-1）=3+2a+b=0，解得a=0，b=-3．
得，f（x）=x³-3x，
令f（x）=t，h（x）=f（f（x））-c，则h（x）=f（t）-c．c∈（-2，2），
 先讨论关于x的方程f（x）=d根的情况，d∈[-2，2]
当|d|=2时，由（2 ）可知，f（x）=-2的两个不同的根为1和一2，注意到f（x）是奇函数，
∴f（x）=2的两个不同的根为-1和2．
当|d|＜2时，∵f（-1）-d=f（2）-d=2-d＞0，f（1）-d=f（-2）-d=-2-d＜0，
∴一2，-1，1，2 都不是f（x）=d 的根．
由（1）知，f′（x）=3（x+1）（x-1）．
①当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，于是f（x）是单调增函数，从而f（x）＞f（2）=2．
此时f（x）=d在（2，+∞）无实根．
②当x∈（1，2）时，f′（x）＞0，于是f（x）是单调增函数．
又∵f（1）-d＜0，f（2）-d＞0，y=f（x）-d的图象不间断，
∴f（x）=d在（1，2 ）内有唯一实根．
同理，在（一2，一1）内有唯一实根．
③当x∈（-1，1）时，f′（x）＜0，于是f（x）是单调减函数．
又∵f（-1）-d＞0，f（1）-d＜0，y=f（x）-d的图象不间断，
∴f（x）=d在（一1，1 ）内有唯一实根．
因此，当|d|=2 时，f（x）=d 有两个不同的根 x₁，x₂，满足|x₁|=1，|x₂|=2；当|d|＜2时，f（x）=d 有三个不同的根x₃，x₄，x₅，满足|x_i|＜2，i=3，4，5．
现考虑函数y=h（x）的零点：
（ i ）当|c|=2时，f（t）=c有两个根t₁，t₂，满足|t₁|=1，|t₂|=2．而f（x）=t₁有三个不同的根，f（x）=t₂有两个不同的根，故y=h（x）有5 个零点．
（ i i  ）当|c|＜2时，f（t）=c有三个不同的根t₃，t₄，t₅，满足|t_i|＜2，i=3，4，5．
而f（x）=t_i有三个不同的根，故y=h（x）有9个零点．
综上所述，当|c|=2时，函数y=h（x）有5个零点；当|c|＜2时，函数y=h（x）有9 个零点．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，综合性强，难度大．