Question

9．已知f（x）=e^x，g（x）=lnx．
（1）若f（$\frac{1}{e}$x）-ax≥0恒成立（a≥0），求a的取值范围；
（2）求证：f（$\frac{1}{e}$x）-g（x-e）＞1．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，a=0时显然符合题意，a＞0时，构造函数，根据导数和函数的最值的关系即可求出a的取值范围；
（2）所求证式子可化为${e^{\frac{1}{e}x}}＞eln（x-e）+e（x＞e）$，构造函数r（x）=eln（x-e）+e（x＞e），求导，根据导数和函数的最值的关系，以及（1）的结论即可证明．

解答 解：（1）a=0时显然符合题意，
a＞0时，因为f（$\frac{1}{e}$x）-ax≥0恒成立，即${e}^{\frac{1}{e}x}$-ax≥0，恒成立，
令h（x）=${e}^{\frac{1}{e}x}$-ax，
则$h'（x）=\frac{1}{e}{e^{\frac{1}{e}x}}-a$，
假设h'（x₀）=0，则${e^{\frac{1}{e}{x_0}}}=ae，{x_0}=e（lna+1）$，
且可知x∈（-∞，x₀）时h'（x₀）＜0，x∈（x₀，+∞）时h'（x₀）＞0，
所以h（x）≥h（x₀），令h（x₀）＞0，得ae-ae（lna+1）≥0，
所以lna≤0，
所以0≤a≤1．
（2）证明：所求证式子可化为${e^{\frac{1}{e}x}}＞eln（x-e）+e（x＞e）$，
令r（x）=eln（x-e）+e（x＞e），则$r'（x）=\frac{e}{x-e}-1=\frac{2e-x}{x-e}（x＞e）$，
易得x=2e时r（x）有最大值，而r（2e）=elne+e-2e=0，
所以r（x）≤0且x=2e时取“=”，
即x≥eln（x-e）+e且x=2e时取“=”，
由（1）可知${e^{\frac{1}{e}x}}≥x$且x=x₀=e时取“=”，
所以${e^{\frac{1}{e}x}}≥eln（e-x）+e$，
即$f（\frac{1}{e}x-1）-g（x-e）＞1$．

点评 本题考查利用导数求函数的最值，考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，属难题．