Question

1．设O、F分别是抛物线y²=2x的顶点和焦点，M是抛物线上的动点，则$\frac{|MO|}{|MF|}$的最大值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．．

Answer 1

分析 设M（m，n）到抛物线y²=2x的准线x=-$\frac{1}{2}$的距离等于d，由抛物线的定义可得$\frac{|MO|}{|MF|}$=$\frac{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}{m+\frac{1}{2}}$=$\sqrt{1+\frac{m-\frac{1}{4}}{{m}^{2}+m+\frac{1}{4}}}$，令m-$\frac{1}{4}$=t，利用基本不等式可求得最大值．

解答 解：焦点F（$\frac{1}{2}$，0），设M（m，n），则n²=2m，m＞0，设M到准线x=-$\frac{1}{2}$的距离等于d，
则由抛物线的定义得$\frac{|MO|}{|MF|}$=$\frac{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}{m+\frac{1}{2}}$=$\sqrt{1+\frac{m-\frac{1}{4}}{{m}^{2}+m+\frac{1}{4}}}$，
令m-$\frac{1}{4}$=t，
依题意知，m＞0，
若t＞0，
则$\frac{m-\frac{1}{4}}{{m}^{2}+m+\frac{1}{4}}$=$\frac{t}{{t}^{2}+\frac{3}{2}t+\frac{9}{16}}$=$\frac{1}{t+\frac{\frac{9}{16}}{t}+\frac{3}{2}}$≤$\frac{1}{3}$，
∴t_max=$\frac{1}{3}$，此时（$\frac{|MO|}{|MF|}$）_max=$\sqrt{1+\frac{1}{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
若-$\frac{1}{4}$＜t＜0，y=t+$\frac{\frac{9}{16}}{t}$+$\frac{3}{2}$单调递减，故y＜-1，$\frac{1}{y}$∈（-1，0）；
综上所述，（$\frac{|MO|}{|MF|}$）_max=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查抛物线的定义、简单性质，基本不等式的应用，体现了换元的思想，属于难题．