Question

19．已知函数f（x）=cosωx+$\sqrt{3}$cosωx（ω＞0），如果存在实数x₀，使得对任意的实数x，都有f（x₀）≤f（x）≤f（x₀+2016π）成立，则ω的最小值为（　　）

• A． $\frac{1}{4032π}$
• B． $\frac{1}{2016π}$
• C． $\frac{1}{4032}$
• D． $\frac{1}{2016}$

Answer 1

分析 由题意得区间[x₀，x₀+2016π]能够包含函数的至少一个完整的单调区间，利用两角和的余弦公式求得f（x），再根据2016π≥$\frac{1}{2}$×$\frac{2π}{ω}$，求得ω的最小值．

解答 解：由题意可得，f（x₀）是函数f（x）的最小值，
f（x₀+2016π）是函数f（x）的最大值；
要使结论成立，只需保证区间
[x₀，x₀+2016π]能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可；
又f（x）=cosωx+$\sqrt{3}$cosωx=（$\sqrt{3}$+1）cosωx，
故2016π≥$\frac{1}{2}$×$\frac{2π}{ω}$，求得ω≥$\frac{1}{2016}$，
故ω的最小值为$\frac{1}{2016}$．
故选：D．

点评 本题主要考查了余弦函数的图象与性质的应用问题，属于中档题目．