Question

20．数列{a_n}满足a₁=1，${a_{n+1}}=3{a_n}+{2^n}$．
（Ⅰ）求证数列$\left\{{{a_n}+{2^n}}\right\}$是等比数列；
（Ⅱ）证明：对一切正整数n，有$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由a₁=1，${a_{n+1}}=3{a_n}+{2^n}$．变形为${a_{n+1}}+{2^{n+1}}=3（{a_n}+{2^n}）$，利用等比数列的定义通项公式即可得出．
（2）由（1）知${a_n}={3^n}-{2^n}$，通过放缩3ⁿ-2ⁿ＞2ⁿ（n≥2），利用等比数列的求和公式即可得出．

解答 证明：（1）由a₁=1，${a_{n+1}}=3{a_n}+{2^n}$．变形为${a_{n+1}}+{2^{n+1}}=3（{a_n}+{2^n}）$，又a₁+2=3，
∴数列$\left\{{{a_n}+{2^n}}\right\}$是以3为首项，3为公比的等比数列．
（2）由（1）知${a_n}={3^n}-{2^n}$，
又3ⁿ-2ⁿ＞2ⁿ（n≥2），
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{3}^{n}-{2}^{n}}$$＜\frac{1}{{2}^{n}}$
故$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜$1+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}+\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{{2}^{n}}$＜$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了等比数列的定义通项公式、求和公式、放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．