Question

12．如图（1）所示，以线段BD为直径的圆经过A，C两点，且AB=BC=1，BD=2，延长DA，CB交于点P，将△PAB沿AB折起，使点P至点P′位置得到如图2所示的空间图形，其中点P′在平面ABCD内的射影恰为线段AD的中点Q，若线段P′B，P′C的中点分别为E，F．
（1）证明：A，D，E，F四点不共面；
（2）求几何体P′ADE的体积．

Answer 1

分析 （1）假设A、D、E、F四点共面，推导出BC∥AD，与BC∩AD=P矛盾，由此能证明A，D，E，F四点不共面．
（2）几何体P′ADE的体积${V}_{{P}^{'}-ADE}={V}_{E-{P}^{'}AD}$，由此能求出结果．

解答 证明：（1）（反证法）假设A、D、E、F四点共面，
∵EF∥BC，BC?平面AEFD，EF?平面AEFD，
∴BC∥平面AEFD，
又平面AEFD∩平面ABCD=AD，且BC?平面ABCD，
∴BC∥AD，
就与图（1）中BC∩AD=P矛盾，
故假设不成立，即A，D，E，F四点不共面．
解：（2）∵BD是圆的直径，∴∠BAD=∠BCD=$\frac{π}{2}$，
在Rt△ABD和Rt△BCD中，
∵AB=BC=1，BD=2，∴$AD=CD=\sqrt{3}$，且$∠ADB=∠BDC=\frac{π}{6}$，
∴$∠ADC=\frac{π}{3}$，连结AC，则△ACD为正三角形，
又Q为AD中点，连结CQ，则CQ⊥AD，
又点P′在平面ABCD内的射影恰为线段AD的中点Q，
∴P′Q⊥底面ABCD，
AD=AC=DC=$\sqrt{3}$，QC=$\sqrt{3-\frac{3}{4}}$=$\frac{3}{2}$，
设PQ=x，则由切割线定理得：${P}^{'}A（{P}^{'}A+\sqrt{3}）={P}^{'}B（{P}^{'}B+1）$，
即$\sqrt{{x}^{2}+\frac{3}{4}}$（$\sqrt{{x}^{2}+\frac{3}{4}}$+$\sqrt{3}$）=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{7}{4}}$（$\sqrt{{x}^{2}+\frac{7}{4}}+1$），
解得P′Q=x=$\frac{3}{2}$，
∴${S}_{△{P}^{'}AD}=\frac{1}{2}×AD×{P}^{'}Q$=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{3}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
E到平面P′AD的距离d=$\frac{1}{2}AB$=$\frac{1}{2}$，
∴几何体P′ADE的体积：
${V}_{{P}^{'}-ADE}={V}_{E-{P}^{'}AD}$=$\frac{1}{3}×{S}_{△{P}^{'}AD}×d$=$\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{3}}{4}×\frac{1}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{8}$．

点评 本题考查四点不共面的证明，考查几何体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．