Question

5．如图，已知平面ABC⊥平面ACDE，且△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=4，等腰梯形ACDE中，AC∥DE且AE=DE=2．
（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角C-BE-D的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出AE⊥EC，从而BC⊥平面ACDE，进而BC⊥AE，AE⊥平面BCE，由此能证明平面ABE⊥平面BCE．
（Ⅱ）取AC的中点M，连结DM交EC于点F，过点F作FH⊥BE于点H，连结DH，则∠DHF为二面角C-BE-D的平面角，由此能求出二面角C-BE-D的正弦值．

解答 证明：（Ⅰ）如图1，∵AC=BC=4，等腰梯形ACDE中，AC∥DE且AE=DE=2，
∴∠EAC=60°，∴AE⊥EC，
∵平面ABC⊥平面ACDE，交线为AC，∴BC⊥平面ACDE，
∴BC⊥AE，∴AE⊥平面BCE，
∵AE?平面ABE，∴平面ABE⊥平面BCE．
解：（Ⅱ）如图2，取AC的中点M，连结DM交EC于点F，
在等腰梯形ACDE中，由已知得DF∥AE，
由（Ⅰ）知AE⊥平面BCE，∴DF⊥平面BCE，
过点F作FH⊥BE于点H，连结DH，则DH⊥BE，
∴∠DHF为二面角C-BE-D的平面角，
∵DE=2，EB=$\sqrt{3+9+16}$=2$\sqrt{7}$，BD=$\sqrt{3+1+16}$=2$\sqrt{5}$，
又DE=2，∴由余弦定理得cos∠EBD=$\frac{28+20-4}{2×2\sqrt{7}×2\sqrt{5}}$=$\frac{11}{2\sqrt{35}}$，∴sin∠EBD=$\frac{\sqrt{19}}{2\sqrt{35}}$，
∴DH=DBsin$∠EBD=\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{7}}$，
又在等腰△CDE中，由题意得DF=1，
∴在Rt△DFH中，sin$∠DHF=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{19}}$=$\frac{\sqrt{133}}{19}$，
∴二面角C-BE-D的正弦值为$\frac{\sqrt{133}}{19}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的合理运用．