Question

14．如图，已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，圆M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切，过原点作倾斜角为$\frac{π}{3}$的直线t，交l于点A，交圆M于点B，且|AO|=|OB|=2．
（ I ） 求圆M和抛物线C的方程；
（Ⅱ） 已知点N是x轴正半轴上的一个定点，设G，H是抛物线上异于原点O的两个不同点，且$\overrightarrow{GN}$∥$\overrightarrow{NH}$，△GOH面积的最小值为16．问以动线段GH为直径的圆是否过原点？请说明理由．

Answer 1

分析 （ I ）由抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线为l，即$\frac{p}{2}$=丨OA丨•cos60°=1，则p=2，即可求得抛物线C的方程，设圆的半径为r，则r=$\frac{丨OB丨}{2}$•$\frac{1}{cos60°}$=2，圆的方程为：（x-2）²+y²=4；
（Ⅱ）设GH的方程为：x=my+n，代入椭圆方程，y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-4n，S_△GOH=S_GOH+S_NOH=$\frac{1}{2}$•n•丨y₁-y₂丨=$\frac{1}{2}$•n•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{1}{2}$•n•$\sqrt{16{m}^{2}+16n}$≥16，m=0时，S_△GOH最小，此时n=4．由$\overrightarrow{OG}$•$\overrightarrow{OH}$=x₁•x₂+y₁•y₂=0，以线段GH为直径的圆过原点．

解答 解：（Ⅰ）由抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线为l，即$\frac{p}{2}$=丨OA丨•cos60°=1，则p=2，
∴抛物线的方程为y²=4x．…（2分）
由圆M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切，且|AO|=|OB|=2，
设圆的半径为r，则r=$\frac{丨OB丨}{2}$•$\frac{1}{cos60°}$=2，
故圆心M（2，0），
∴圆的方程为：（x-2）²+y²=4；        …（4分）
（Ⅱ）设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），N（n，0）（n为大于0的常数）．
设GH的方程为：x=my+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x=my+n}\end{array}\right.$，整理得：y²-4my-4n=0，
∴y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-4n
S_△GOH=S_GOH+S_NOH=$\frac{1}{2}$•n•丨y₁-y₂丨=$\frac{1}{2}$•n•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$，
=$\frac{1}{2}$•n•$\sqrt{16{m}^{2}+16n}$≥16，
由n为大于0的常数，
∴m=0时，S_△GOH最小．此时n=4．       …（8分）
由$\overrightarrow{OG}$•$\overrightarrow{OH}$=x₁•x₂+y₁•y₂=0，
∴以线段GH为直径的圆过原点．…（12分）

点评 本题考查抛物线的标准方程及简单几何性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积公式，韦达定理及弦长公式的应用，考查圆锥曲线与不等式的综合应用，考查计算能力，属于中档题．