Question

2．设F₁，F₂分别是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$（a＞b＞0）的左右焦点，M是C上一点且MF₂与x轴垂直，直线MF₁与C的另一个交点为N．
（1）若直线MN的斜率为$\frac{3}{4}$，求C的离心率；
（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F₁N|，求椭圆标准方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$（a＞b＞0）焦点在x轴上，MF₂为椭圆通径的一半，即$\frac{1}{2}$×$\frac{2{b}^{2}}{a}$=$\frac{{b}^{2}}{a}$，M点坐标为（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），k_MN=${k}_{M{F}_{1}}$=$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}-0}{c+c}$=$\frac{3}{4}$，即2b²=3ac，整理得：2c²+3ac-2a²=0，两边同时除以a²，2e²+3e-2=0，解得：e=$\frac{1}{2}$，e=-2，由0＜e＜1，即可求得C的离心率；
（2）设直线MN与y轴交点为D（0，2），过N作NE⊥y轴，MF₂∥y轴，在△MF₁F₂中，OD为△MF₁F₂的中位线，求得b²=4a，由|MN|=5|F₁N|，丨DF₁丨=2丨F₁N丨，由△DF₁O∽△DNE，根据相似三角形的性质求得N点坐标，代入椭圆方程，由c²=a²-b²，即可求得a和b的值，求得椭圆方程．

解答 解：（1）依题意，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$（a＞b＞0）焦点在x轴上，MF₂为椭圆通径的一半，
即$\frac{1}{2}$×$\frac{2{b}^{2}}{a}$=$\frac{{b}^{2}}{a}$，
∴M点坐标为（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），
由F₁（-c，0），依题意有k_MN=${k}_{M{F}_{1}}$=$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}-0}{c+c}$=$\frac{3}{4}$，即2b²=3ac，…3分
由b²=a²-c²，
∴2c²+3ac-2a²=0，两边同时除以a²，
整理得：2e²+3e-2=0，解得：e=$\frac{1}{2}$，e=-2，
由0＜e＜1，
∴e=-2（舍），
故椭圆C的离心率为$\frac{1}{2}$；…5分
（2）设直线MN与y轴交点为D（0，2），过N作NE⊥y轴，
依题意，原点O为F₁F₂的中点，
∴MF₂∥y轴，
∴在△MF₁F₂中，OD为△MF₁F₂的中位线，
∵D（0，2），
∴$\frac{{b}^{2}}{a}$=4，即b²=4a①…7分
设N（x₁，y₁），由题意可知：x₁＜0，y₁＜0，
由|MN|=5|F₁N|，
∴丨DF₁丨=2丨F₁N丨，
∵△DF₁O∽△DNE，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-c}{-{x}_{1}}=\frac{2}{3}}\\{\frac{-{y}_{1}}{2}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-\frac{3}{2}c}\\{{y}_{1}=-1}\end{array}\right.$，…9分
代入C的方程，得$\frac{9{c}^{2}}{4{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1$②，…10分
由c²=a²-b²③，
将①③代入②中得：$\frac{9（{a}^{2}-4a）}{4{a}^{2}}+\frac{1}{4a}=1$，解得：a=7，
b²=4a=28，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{49}+\frac{{y}^{2}}{28}=1$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查相似三角形的性质，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题．