Question

17．如图，已知DC⊥平面ABC，BE∥CD，是正三角形，AC=CD=2BE，且点M是AD上的一个动点．
（1）若点M是AD的中点，求证：ME∥平面ABC；
（2）求证：平面ADE⊥平面ACD．

Answer 1

分析 （1）取AC中点为F，连接BF，证明四边形MEBF是平行四边形，可得ME∥BF，即可证明ME∥平面ABC；
（2）证明ME⊥平面ACD，即可证明平面ADE⊥平面ACD．

解答 证明：（1）取AC中点为F，连接BF．
∵AM=MD，AF=FC，∴MF平行且等于$\frac{1}{2}$DC．
∵BE平行且等于$\frac{1}{2}$DC，∴BE平行且等于MF，
∴四边形MEBF是平行四边形，
∴ME∥BF．
∵ME?平面ABC，BF?平面ABC，
∴ME∥平面ABC；（6分）
（2）∵AF=CF，AB=CB，∴BF⊥AC．
∵DC⊥平面ABC，BF?平面ABC，∴DC⊥BF．
∵DC∩AC=C，∴BF⊥平面ACD．
由（1）中证明可知，ME∥BF．
∴ME⊥平面ACD，
∵ME?平面ADE，
∴平面ADE⊥平面ACD．…（12分）

点评 本题考查空间直线和平面的位置关系，考查空间想象能力、转化、论证能力．