Question

13．袋中装有形状、大小完全相同的五个乒乓球，分别标有数字1，2，3，4，5．现每次从中任意抽取一个，取出后不再放回．
（Ⅰ）若抽取三次，求前两个乒乓球所标数字之和为偶数的条件下，第三个乒乓球为奇数的概率；
（Ⅱ）若不断抽取，直至取出标有偶数的乒乓球为止，设抽取次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设“前两个乒乓球所标数字之和为偶数”为事件A，“第三个乒乓球为奇数”为事件B，由此利用条件概率计算公式能求出前两个乒乓球所标数字之和为偶数的条件下，第三个乒乓球为奇数的概率．
（Ⅱ）ξ的可能取值为1，2，3，4．分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列及数学期望．

解答 解：（Ⅰ）设“前两个乒乓球所标数字之和为偶数”为事件A，
“第三个乒乓球为奇数”为事件B，
则所求概率为$P（B\left|A\right.）=\frac{P（A•B）}{P（A）}=\frac{C_3^1A_2^2+A_2^2A_3^1}{C_4^1A_2^2A_3^1}=\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）ξ的可能取值为1，2，3，4．
$P（ξ=1）=\frac{A_2^1}{A_5^1}=\frac{2}{5}，P（ξ=2）=\frac{A_3^1A_2^1}{A_5^2}=\frac{3}{10}，P（ξ=3）=\frac{A_3^2A_2^1}{A_5^3}=\frac{1}{5}，P（ξ=4）=\frac{A_3^3A_2^1}{A_5^4}=\frac{1}{10}$，
ξ的分布列为

ξ	1	2	3	4
P	$\frac{2}{5}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{10}$

所以$Eξ=1×\frac{2}{5}+2×\frac{3}{10}+3×\frac{1}{5}+4×\frac{1}{10}=2$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．