Question

15．已知函数${f_1}（x）=\frac{1}{2}{x^2}，{f_2}（x）=alnx$（其中a＞0）．
（1）求函数f（x）=f₁（x₁）•f₂（x₂）的极值；
（2）若函数g（x）=f₁（x₁）-f₂（x₂）+（a-1）x在区间$（\frac{1}{e}，e）$内有两个零点，求正实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；
（2）先求出函数g（x）的导数，通过讨论x，得到函数的单调区间，结合函数g（x）在区间（$\frac{1}{e}$，e）内有两个零点，得到不等式组，解出即可．

解答 解：（1）f（x）=f₁（x）•f₂（x）=x²alnx，
∴f′（x）=axlnx+$\frac{1}{2}$ax=$\frac{1}{2}$ax（2lnx+1），（x＞0，a＞0），
由f′（x）＞0，得x＞${e}^{-\frac{1}{2}}$，由f′（x）＜0，得0＜x＜${e}^{-\frac{1}{2}}$．
∴函数f（x）在（0，${e}^{-\frac{1}{2}}$）上是减函数，在（${e}^{-\frac{1}{2}}$，+∞）上是增函数，
∴f（x）的极小值为f（${e}^{-\frac{1}{2}}$）=-$\frac{a}{4e}$，无极大值．
（2）函数g（x）=f₁（x₁）-f₂（x₂）+（a-1）x=$\frac{1}{2}$x²-alnx+（a-1）x，
则g′（x）=x-$\frac{a}{x}$+（a-1）=$\frac{{x}^{2}+（a-1）x-a}{x}$=$\frac{（x+a）（x-1）}{x}$，
令g′（x）=0，∵a＞0，解得x=1，或x=-a（舍去），
当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）上单调递减；
当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上单调递增．
函数g（x）在区间（$\frac{1}{e}$，e）内有两个零点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（\frac{1}{e}）＞0}\\{g（1）＜0}\\{g（e）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2{e}^{2}}+\frac{a-1}{e}+a＞0}\\{\frac{1}{2}+a-1＜0}\\{\frac{{e}^{2}}{2}+（a-1）e-a＞0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a＞\frac{2e-1}{2{e}^{2}+2e}}\\{a＜\frac{1}{2}}\\{a＞\frac{2e-{e}^{2}}{2e-2}}\end{array}\right.$，
故a的取值范围为（$\frac{2e-1}{2{e}^{2}+2e}$，$\frac{1}{2}$）

点评 本题考查利用导数研究函数的极值、函数的最及函数恒成立问题，考查转化思想、数形结合思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．