Question

3．抛物线C：y²=4x的交点为F，准线为l，p为抛物线C上一点，且P在第一象限，PM⊥l交C于点M，线段MF为抛物线C交于点N，若PF的斜率为$\frac{3}{4}$，则$\frac{|MN|}{|NF|}$=$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 过N作l的垂线，垂足为Q，则|NF|=|NQ|，|PF|=|PM|，求出P的坐标，可得cos∠MNQ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，即可得到$\frac{|MN|}{|NF|}$．

解答 解：抛物线C：y²=4x的焦点为F（1，0），
过N作l的垂线，垂足为Q，则|NF|=|NQ|，
∵PF的斜率为$\frac{3}{4}$，∴可得P（4，4）．
∴M（-1，4），∴cos∠MFO=$\frac{\sqrt{5}}{5}$
∴cos∠MNQ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$
∴$\frac{|MN|}{|NF|}$=$\sqrt{5}$
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了抛物线的性质，三角函数的恒等变换，属于中档题．