Question

6．已知点C为圆（x+1）²+y²=8的圆心，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且有点A（1，0）和AP上的点M，满足$\overrightarrow{MQ}$•$\overrightarrow{AP}$=0，$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{AM}$．
（1）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；
（2）若直线y=kx+$\sqrt{{k}^{2}+1}$，（k＞0）与（1）中所求点Q的轨迹交于不同的两点F，H，O是坐标原点，且$\frac{2}{3}$≤$\overrightarrow{OF}$•$\overrightarrow{OH}$≤$\frac{3}{4}$时，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用线段的垂直平分线的性质、椭圆的定义即可得出．
（2）设F（x₁，y₁），H（x₂，y₂），由直线y=kx+$\sqrt{{k}^{2}+1}$，（k＞0）与椭圆联立得$（2{k}^{2}+1）{x}^{2}+4k\sqrt{{k}^{2}+1}x+2{k}^{2}$=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量数量积结合已知条件能求出k的取值范围．

解答 解：（1）由题意知MQ中线段AP的垂直平分线，
∴|CP|=|QC|+|QP|=|QC|+|QA|=2$\sqrt{2}$＞|CA|=2，
∴点Q的轨迹是以点C，A为焦点，焦距为2，长轴为2$\sqrt{2}$的椭圆，b=1，
故点Q的轨迹方程是$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（II）设F（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
由直线y=kx+$\sqrt{{k}^{2}+1}$，（k＞0）与椭圆联立得$（2{k}^{2}+1）{x}^{2}+4k\sqrt{{k}^{2}+1}x+2{k}^{2}$=0，
△=8k²＞0，x₁+x₂=-$\frac{4k\sqrt{{k}^{2}+1}}{2{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，
∴$\overrightarrow{OF}$•$\overrightarrow{OH}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{{k}^{2}+1}{2{k}^{2}+1}$，
∴$\frac{2}{3}$≤$\frac{{k}^{2}+1}{2{k}^{2}+1}$≤$\frac{3}{4}$
即$\frac{1}{2}$≤k²≤1，
∵k＞0，∴解得$\frac{\sqrt{2}}{2}≤k≤1$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、数量积运算性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．