Question

1．如图，某简单几何体的一个面ABC内接于圆M，AB是圆M的直径，CF∥BE，BE⊥平面ABC，且AB=2，AC=1，BE+CF=7．
（Ⅰ）求证：AC⊥EF：
（Ⅱ）当CF为何值时，平面AEF与平面ABC所成的锐角取得最小值？

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出CF⊥AC，AC⊥BC，从而AC⊥平面FCBE，由此能证明AC⊥EF．
（Ⅱ）分别以CA、CB、CF所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系C-xyz，利用向量法能求出当且仅当CF=2时，平面AEF与平面ABC所成的锐角取得最小值．

解答 证明：（Ⅰ）∵CF∥BE，∴CF、BE确定一个平面FCBE，
又∵BE⊥平面ABC，∴CF⊥平面ABC，
∵AC?平面ABC，∴CF⊥AC，
在圆M中，AB为直径，∴AC⊥BC，
∵BC∩CF=C，∴AC⊥平面FCBE，
又EF?平面FCBE，
∴AC⊥EF．
解：（Ⅱ）分别以CA、CB、CF所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系C-xyz，
设CF=a，则A（1，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），F（0，0，a），E（0，$\sqrt{3}$，7-a），
则$\overrightarrow{AE}$=（-1，$\sqrt{3}，7-a$），$\overrightarrow{AF}$=（-1，0，a），
设平面AEF的一个法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{m}=-x+\sqrt{3}y+（7-a）z=0}\\{\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{m}=-x+az=0}\end{array}\right.$，取z=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}a，2a-7，\sqrt{3}$），
平面ABC的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
∴|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3{a}^{2}+（2a-7）^{2}+3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7{a}^{2}-28a+52}}$，
∵7a²-28a+52=7（a-2）²24≥24，
当且仅当a=2时，等号成立，
∴|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|_max=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{24}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
当且仅当CF=2时，平面AEF与平面ABC所成的锐角取得最小值．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．