Question

15．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，点P是椭圆上任意一点，F₁、F₂分别是椭圆的左右焦点，△PF₁F₂的面积最大值为$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）从圆x²+y²=16上一点P向椭圆C引两条切线，切点分别为A，B，当直线AB分别与x轴、y轴交于M、N两点时，求|MN|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：$\frac{1}{2}×2cb$=$\sqrt{3}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，解得即可得出．
（2）设点P（x₀，y₀）为圆x²+y²=16上一点，PA，PB为椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的切线，切点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
可得弦AB所在直线方程为$\frac{x{x}_{0}}{4}+y{y}_{0}$=1．可得M$（0，\frac{1}{{y}_{0}}）$，N$（\frac{4}{{x}_{0}}，0）$，于是|MN|²=$\frac{16}{{x}_{0}^{2}}$+$\frac{1}{{y}_{0}^{2}}$=$（\frac{16}{{x}_{0}^{2}}+\frac{1}{{y}_{0}^{2}}）$×$\frac{{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}}{16}$=$\frac{1}{16}（\frac{{x}_{0}^{2}}{{y}_{0}^{2}}+\frac{16{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}}+17）$，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）由题意可得：$\frac{1}{2}×2cb$=$\sqrt{3}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，解得a=2，b=1．
∴椭圆C方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（2）设点P（x₀，y₀）为圆x²+y²=16上一点，PA，PB为椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的切线，
切点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∴弦AB所在直线方程为$\frac{x{x}_{0}}{4}+y{y}_{0}$=1．
∴M$（0，\frac{1}{{y}_{0}}）$，N$（\frac{4}{{x}_{0}}，0）$，
∴|MN|²=$\frac{16}{{x}_{0}^{2}}$+$\frac{1}{{y}_{0}^{2}}$=$（\frac{16}{{x}_{0}^{2}}+\frac{1}{{y}_{0}^{2}}）$×$\frac{{x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}}{16}$=$\frac{1}{16}（\frac{{x}_{0}^{2}}{{y}_{0}^{2}}+\frac{16{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}}+17）$≥$\frac{1}{6}（17+2\sqrt{16•\frac{{x}_{0}^{2}}{{y}_{0}^{2}}×\frac{{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}}}）$=$\frac{25}{16}$．
当且仅当${x}_{0}^{2}$=$\frac{64}{5}$，${y}_{0}^{2}$=$\frac{16}{5}$时取等号，
∴|MN|$≥\frac{5}{4}$，|MN|的最小值为$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、基本不等式的性质、椭圆的切线方程，考查了推理能力与计算能力，属于难题．