Question

7．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=$\frac{1}{2}$BC=a，E是BC的中点，将△BAE沿着AE翻折成△B₁AE，使平面B₁AE⊥平面AECD．

（Ⅰ）若F为B₁D的中点，求证：B₁E∥平面ACF；
（Ⅱ）求平面ADB₁与平面ECB₁所成二面角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接ED交AC于O，连接OF，则FO∥B1E，由此能证明B1E∥面ACF．
（Ⅱ）取AE的中点M，分别以ME，MD，MB1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能求出平面ADB₁与平面ECB₁所成二面角的正弦值．

解答 证明：（Ⅰ）连接ED交AC于O，连接OF，因为AECD为菱形，OE=OD，
又F为B1D的中点，所以FO∥B1E，
因为FO?面ACF，B₁F?面ACF，
所以B1E∥面ACF．
解：（Ⅱ）取AE的中点M，连接B1M，MD，
分别以ME，MD，MB1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
A（-$\frac{a}{2}$，0，0），D（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，0），B₁（0，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}a$），E（$\frac{a}{2}$，0，0），
C（a，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，0），
$\overrightarrow{AD}$=（$\frac{a}{2}$，$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，0），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（$\frac{a}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}a$），
$\overrightarrow{EC}$=（$\frac{a}{2}，\frac{\sqrt{3}a}{2}$，0），$\overrightarrow{E{B}_{1}}$=（-$\frac{a}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}a}{2}$），
设平面ADB₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=\frac{a}{2}x+\frac{\sqrt{3}a}{2}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=\frac{a}{2}x+\frac{\sqrt{3}a}{2}z=0}\end{array}\right.$，取a=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，-1，-1），
设平面ECB₁的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EC}=\frac{a}{2}x+\frac{\sqrt{3}a}{2}y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{E{B}_{1}}=-\frac{a}{2}x+\frac{\sqrt{3}a}{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，-1，1），
设平面ADB₁与平面ECB₁所成二面角的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{5}$，∴sin$θ=\frac{4}{5}$．
∴平面ADB₁与平面ECB₁所成二面角的正弦值为$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．