Question

19．设函数f（x）=$\frac{1}{x}$+ax+b，a，b∈R．
（1）若函数y=f（x）-2是奇函数，且在（0，+∞）上的最小值为4，求函数f（x）的解析式；
（2）当a=1时，函数g（x）=2f（x）-x在[$\frac{1}{2}$，2]上有两个不同的零点，求实数b的最小值；
（3）设F（x）=|f（x）|，对任意的实数b，都存在实数x₀∈[$\frac{1}{2}$，2]，使得F（x）$≥\frac{1}{2}$恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用函数y=f（x）-2为奇函数得到b，讨论a，利用其单调性和基本不等式得到求出a值，进而得到f（x）；
（2）把a=1代入f（x）=$\frac{1}{x}$+ax+b，由题意可得-2b=$\frac{2}{x}$+x，令h（x）=$\frac{2}{x}$+x，求出单调区间和端点的函数值，即可得到b的范围和最小值；
（3）由f（x）=$\frac{1}{x}$+ax+b，得f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+a=$\frac{a{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$，判断函数f（x）的单调性，由题意，讨论得到a的范围．

解答 解：（1）由题意得，函数y=f（x）-2=$\frac{1}{x}$+ax+b-2，
令y=g（x）=f（x）-2为奇函数，∴g（-x）=-g（x），
即-$\frac{1}{x}$-ax+b-2=-（$\frac{1}{x}$+ax+b-2），解得b=2，
由y=$\frac{1}{x}$+ax在（0，+∞）上的最小值为4，
当a≤0时，函数递减无最小值；
当a＞0时，y=$\frac{1}{x}$+ax≥2$\sqrt{ax•\frac{1}{x}}$，
即有ax=$\frac{1}{x}$时取得最小值2$\sqrt{a}$=4，
解得a=4，则f（x）=$\frac{1}{x}$+4x+2；
（2）把a=1代入得f（x）=$\frac{1}{x}$+x+b，
则g（x）=$\frac{2}{x}$+x+2b在[$\frac{1}{2}$，2]上有两个不同的零点，
即有-2b=$\frac{2}{x}$+x，令h（x）=$\frac{2}{x}$+x，则h（x）在[$\frac{1}{2}$，$\sqrt{2}$）递减，在（$\sqrt{2}$，2]递增，
可得h（$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$，h（$\frac{1}{2}$）=$\frac{9}{2}$，h（2）=3，
由g（x）=$\frac{2}{x}$+x+2b在[$\frac{1}{2}$，2]上有两个不同的零点，
可得2$\sqrt{2}$＜-2b≤$\frac{9}{2}$，
解得-$\frac{9}{4}$≤b＜-$\sqrt{2}$，
即b的最小值为-$\frac{9}{4}$；
（3）由f（x）=$\frac{1}{x}$+ax+b，得f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+a=$\frac{a{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$，
由f′（x）≤0，得a≤$\frac{1}{{x}^{2}}$，所以a≤$\frac{1}{4}$，此时f（x）在区间[$\frac{1}{2}$，2]上为减函数，
要使对任意的实数b，都存在实数x₀∈[$\frac{1}{2}$，2]，使得不等式|f（x₀）|≥$\frac{1}{2}$成立，
只要f（x₀）≥$\frac{1}{2}$或者f（x₀）≤-$\frac{1}{2}$所以只要f（x）的最大值为f（$\frac{1}{2}$）=2+$\frac{1}{2}$a+b≥$\frac{1}{2}$
或者f（2）=$\frac{1}{2}$+2a+b≤-$\frac{1}{2}$．
解得a≤$\frac{1}{3}$，又a≤$\frac{1}{4}$，
所以a≤$\frac{1}{4}$；
由f′（x）≥0，由x∈[$\frac{1}{2}$，2]，得a≥$\frac{1}{{x}^{2}}$，得到a≥4，此时f（x）在区间[$\frac{1}{2}$，2]上为增函数，
要使对任意的实数b，都存在实数x₀∈[$\frac{1}{2}$，2]，使得不等式|f（x₀）|≥$\frac{1}{2}$成立，
只要f（x₀）≥$\frac{1}{2}$或者f（x₀）≤-$\frac{1}{2}$所以只要f（x）的最大值为f（2）=$\frac{1}{2}$+2a+b≥$\frac{1}{2}$
或者f（$\frac{1}{2}$）=2+$\frac{1}{2}$a+b≤-$\frac{1}{2}$．
解得a≥$\frac{5}{3}$，又a≥4，
所以a≥4；
综上a≥4或a≤$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查函数的单调性，最值与导数的关系，和存在性问题的转化，属于压轴题，难题．