Question

14．若正实数x、y满足x+y+$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=5，则x+y的最大值与最小值的和为5．

Answer 1

分析 由题意可得，（x+y）[5-（x+y）]=（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）=2+$\frac{y}{x}$+$\frac{x}{y}$，利用基本不等式即可得出最值，进而得到它们的和．

解答 解：∵x+y+$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=5，
∴（x+y）[5-（x+y）]=（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）=2+$\frac{y}{x}$+$\frac{x}{y}$≥2+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{x}{y}}$=4，
∴（x+y）²-5（x+y）+4≤0，
∴1≤x+y≤4，
∴当且仅当x=y=2时，x+y取最大值4，x=y=$\frac{1}{2}$时，x+y取得最小值为1，
则x+y的最大值与最小值的和为5．
故答案为：5．

点评 本题考查最值求法，注意运用变形和基本不等式，考查运算能力，属于中档题．